Алгоритмы

Набор допустимых операций

Каждой допустимой операции x_i →t(x_i)∈ ℝ ≥ 0

m: In(m), Out(m)

∀ In(m) ∃ строго определенная последовательность допустимых операций, получающая Out(m)

Конечность

In(m) → N∈ ℕ = #In(m)

Время работы алгоритма m на In(m) = сумма времен выполнения допустимых операций алгоритма m на In(m)

Верхняя оценка времени работы алгоритма m: Φ(N):ℕ →ℝ

∀ In(m): #In(m)≤N :T(m,In(m))≤ Φ(N)

Каждый m решает некоторую задачу z с теми же наборами In(z) и Out(m) и с набором алгоритмов на основе заданного набора допустимых операций.

Верхняя оценка времени решения задачи z: Φ(N):ℕ →ℝ : ∃ m решения z, для которого Φ(N) – верхняя оценка времени работы.

Для длинного алгоритма m₁ таскания кирпичей _{на k шаге k раз таскаем кирпич и к-1 возвращаем его} Φ(N)=N(N+1)/2

Φ(N)=N(N+1)/2 – верхняя оценка времени решения задачи переноса кирпичей

Для короткого алгоритма m_{2 за один шаг – один кирпич} таскания кирпичей Φ(N)=N

Φ(N)=N – верхняя оценка времени решения задачи переноса кирпичей

Куча из N кирпичей любого конечного веса, время перетаскивания кирпича = весу кирпича – нет верхней оценки времени решения задачи (т.к. ∀ m !∃ верхней оценки)

Верхняя оценка характеризует худшее время работы алгоритма на #In(m)=N

Нижняя оценка времени работы алгоритма m: φ(N):ℕ →ℝ

∀N∈ ℕ ∃ In(m): #In(m)=N :T(m,In(m))≥ φ(N)

Задача таскания кучи кирпичей весом до 5 кг (время перетаскивания = весу):

нижняя оценка для короткого алгоритма m_{2 за один шаг – один кирпич} таскания кирпичей: φ(N)=N

φ(N)=5N

Φ(N)=5N

Нижняя оценка времени решения задачи z: φ(N):ℕ →ℝ :∀ m решения z φ(N) – нижняя оценка времени работы алгоритма.

Задача таскания кучи кирпичей весом до 5 кг (время перетаскивания = весу):

φ(N)=5N

Сведение задач: z₁ →_g(N) z₂: существует алгоритм p преобразующий In(z₁) размером N в In(z₂) размером N и Out(z₂) в Out(z₁) за суммарное время ≤ g(N)

Теорема1. z₁ →_g(N) z₂ и Φ₂(N) – верхняя оценка времени решения z₂, то

Φ₁(N)= Φ₂(N)+g(N) – верхняя оценка z₁

Теорема2. z₁ →_g(N) z₂ и Φ₁(N) – нижняя оценка времени решения z₁, то

Φ₂(N)= Φ₁(N)-g(N) – нижняя оценка z₂

Д-во

Φ₂(N)= Φ₁(N)-g(N) – нижняя оценка z₂:

∀ m₂ решения z₂ ∀ N∈ ℕ ∃ #In(m₂)=N : T(m₂, In(m₂))≥ Φ₂(N)= Φ₁(N)-g(N)

допустим это не верно:

∃ m₂ решения z₂ ∃ N∈ ℕ ∀ #In(m₂)=N : T(m₂, In(m₂))< Φ₂(N)= Φ₁(N)-g(N)

Рассмотрим алгоритм решения z₁: с помощью m₂ и сведения задач за время g(N):

∃ N∈ ℕ ∀ #In(m₂)=N: T(сведения+m₂, In(m₁)) < Φ₂(N)+g(N)= Φ₁(N)-g(N)+g(N)= Φ₁(N)

Получили алгоритм m_{1 :} ∃ N∈ ℕ ∀ #In(m₁)=N: T(m₁,In(m₁) < Φ₁(N)

противоречие с тем, что Φ₁(N) – нижняя оценка z₁

Ч.Т.Д.