Сортировки

{a₁,…,a_n}, a_i∈ X

1)∀ a,b∈ X верно ровно одно из трех соотношение:

a=b

a<b

a>b

2)Для них верна транзитивность:

a,b,c∈ X,

a<b,b<c => a<c

a>b,b>c => a>c

a=b,b=c => a=c

Сортировка = такая перестановка s: {1,…n} → {1,…n}, что ∀ 1<i≤ n: a_s(i-1)<a_s(i) или a_s(i-1)=a_s(i)

Существует ли сортировка?

Контрпример: ∀ a,b∈ X: a>b

3)Симметричность:

∀ a,b∈ X: a<bób>a

Теорема. Пусть выполняются соотношения 1-3, то сортировка ∃ и ! с точностью до перестановки равных элементов.

∃. По индукции.

Утв.: равные элементы в отсортированной последовательности идут подряд:

невозможна ситуация:

a<b, b<c, a=c

a=b, b<c, a=c

a<b, b=c, a=c

легко д-ть.

То заменяем все подпосл-ти равных эл-тов одним эл-том.

Введем ф-цию t(x), x∈ X: t(x) = к-во эл-тов посл-ти, меньших x

t(x) однозначно определяет положение x в отсорт.посл-ти

Ч.Т.Д.

Для построения сортировки достаточно определить одно соотношение <

Сортировки пузырьком.

Теорема.Φ (n)=Θ(n²) – верхняя оценка времени работы алгоритма пузырька

ϕ (n)= Θ(n²) – нижняя оценка времени работы алгоритма пузырька.

Модель: допустимые операции = транспозиция; время на транспозицию эл-тов с индексами i и j = Θ(|i-j|)

Теорема. В рамках модели ϕ (n)= Θ(n²) – нижняя оценка времени решения задачи.

Д-во: рассмотрим {n,n-1,…,1}…

Сортировки, основанные на сравнениях.

Дерево решений = бинарное дерево(из каждой вершины исходит либо 2 либо 0 вершин; если 0, то назовем вершину концевой); на корень подается последовательность {a_i}

вершина →f_{вершины}{a_i} * 0

ребро → транспозиция_ребра {a_i}

Алгоритм основан на сравнениях = он сводится к дереву решений.

Пусть t(f_{вершины}{a_i})=Θ(1), t(транспозиция_ребра {a_i})=0

Высота дерева h(T)=макс.длин ветвей.

Длина ветви = к-во вершин в ветви

Удалим из дерева все недостижимые вершины.

Утв. для нашей модели нижняя оценка времени работы алгоритма = Θ(h(T))

Сколько концевых вершин в нашем дереве?

Рассмотрим все перестановки s(1,…,n)

Каждая ветвь дерева задает перестановку s^-1(1,…,n), обратную s(1,…,n)

Количество концевых вершин N = n!

N≤ 2^h(T)-1

ln₂(N)≤ h(T)-1

h(T)≥ ln₂(N)+1

h(T)≥ ln₂(n!)+1

Формула Стирлинга: n!=√ (2π n) nⁿe^-n(1+o(1))

h(T)≥ ln₂(√ (2π n) nⁿe^-n(1+o(1)))+1=

ln₂(√ (2π )) +0.5ln(n) + n ln(n) – n ln( e) + o(1) +1 = Θ(n ln n)

Теорема. Для алгоритмов, основанных на сравнениях, существует нижняя оценка времени работы алгоритма = Θ(n ln n)

Дерево решений алгебраическое степени n если deg(f_{вершины}{a_i})≤ n

Алгоритм основан на простых сравнениях если в каждой вершине происходит только сравнение двух элементов последовательности

Теорема. Для алгоритма сортировки слиянием с рекурсией существует верхняя оценка времени работы алгоритма Φ(n)=Θ (n ln n); алгоритм требует Θ(n) дополнительной памяти в куче и Θ(ln n) дополнительной памяти в стеке.

Теорема. Для алгоритмов основанных на сравнениях алгоритм Merge для двух массивов длины n строго оптимален по количеству сравнений. Т.е. если время сравнения = 1 , время остальных операций =0, то ϕ(n)=2n-1 – строгая нижняя оценка времени работы алгоритма Merge.

Д-во: рассмотрим отсортированные массивы {a₁,…,a_n} и {b₁,…,b_n}: a_i<b_i, a_i+1>b_i, т.е. в отсорт.массиве эл-ты лежат так: a₁, b₁, a₂, b₂, a₃, b₃,…

К-во соотношений = 2n-1. Утверждается, что все эти соотношения надо проверить.

Например: не проверим a₂<b₂ , то две последовательности удовлетворяют всем остальным соотношениям:

a₁, b₁, a₂, b₂, a₃, b₃,…

a₁, b₁, b₂, a₂, a₃, b₃,…

Т.е. хотя бы 2n-1 сравнение надо обязательно сделать для сортировки.

Ч.Т.Д.

OpenMP