Теорема. Для алгоритма сортировки слиянием без рекурсией существует верхняя оценка времени работы алгоритма Φ(n)=Θ (n ln n); алгоритм требует Θ(n) дополнительной памяти в куче и Θ(1) дополнительной памяти в стеке.

QSort.

медиана {a₀,…,a_n-1} = a’_[n/2], где {a’₀,…,a’_n-1} – отсортированный исходный массив

m_i: [i,j]<x<[k,l]: ∀ i≤t≤j: m_t<x, ∀ k≤t≤l: x<m_t

Теорема. Для алгоритма QSort1 существует верхняя оценка времени работы алгоритма Φ(n)=Θ (n²); алгоритм не требует дополнительной памяти в куче и требует O(n) дополнительной памяти в стеке.

Теорема. Для алгоритма QSort2 существует верхняя оценка времени работы алгоритма Φ(n)=Θ (n²); алгоритм не требует дополнительной памяти в куче и требует O(log n) дополнительной памяти в стеке.

Теорема. Алгоритм QSort2 работает за время Θ (n log n) в среднем по всем перестановкам массива из n различных элементов {1,…,n}.

Пусть для всех k<n верно: T(k)=Θ (k log k) <a k log k + b для некоторых a,b∈ ℝ a,b>0

T(n)= ( O(n)+T(1)+T(n-1) +∑_i=2ⁿ(O(n)+T(i-1)+T(n-i+1)) )/n =

O(n) + ∑_i=2ⁿ(T(i-1)+T(n-i+1))/n= O(n) + 2 /n ∑_i=1^n-1T(i)=…

∑_i=1^n-1T(i)< ∑_i=1^n-1 (a i log i + b) <nb + a∑_i=1^n/2-1 i log₂ i + a∑_i=n/2^n-1 i log i <

nb + a∑_i=1^n/2-1 i log (n/2) + a∑_i=n/2^n-1 i log n =

nb + a∑_i=1^n-1 i log n - a∑_i=1^n/2-1 i <

nb + a log n (n n/2) - a n/2 n/2 =

nb + a n²/2 log n - a n²/4

…= O(n) + 2 /n (nb + a n²/2 log n - a n²/4)=…

b + a n log n + (O(n) + b - a n/2) ≤ …

выбираем a так, что (O(n) + b - a n/2)≤ 0

…≤ b + a n log n

Ч.Т.Д.