HeapSort

{a_i}, i=0,…,n-1. Сортируем по возрастанию.

Массив называется *-упорядоченным если выполняется свойство *:

a_i≥ a_2i+1 (i≥0, 2i+1<n)

a_i≥ a_2i+2 (i≥0, 2i+2<n)

0

1 2

3 4 5 6

---

Heapify(a,n, i)

//на входе свойство * выполняется для всех j>i

//на выходе свойство * выполняется для всех j≥i

Текущий эл-т имеет индекс i

Пусть a_2i+1 – максимальный из трех (a_i, a_2i+1, a_2i+2)

Меняем местами a_i и a_2i+1

i=2i+1

---

Утверждение. Время работы Heapify(a,n, i) = T(n,a,i)=O(log n).

HeapSort.

1. Строим пирамиду: for(i=n-2;i>=0;i--) Heapify(a,n, i)

2. for(l=n-1;l>=1;l--){SWAP(a[0],a[l]); Heapify(a,l, 0)}

Теорема. Алгоритм HeapSort работает за время = O(n log n)

Сортировка подсчетом

{a_i}, i=0,…,n-1; a_i∈ ℕ₀; 0≤ a_i<B∈ ℕ₀ .

{b_j}, j=0,…,B-1: b_j = количество эл-тов {a_i} ≤ j

1. {b_j} = количество эл-тов {a_i} = j
=>

2. {b_j} = количество эл-тов {a_i} ≤ j

1.
Обнуляем массив b
Для всех a_i: b[a[i]]++

2. Для всех b_j: b[j]+=b[j-1]

for(i=n-1;i≥0;i--){r[b[a[i]]-1]=a[i];b[a[i]]--;}

Устойчивая сортировка = сортировка, не меняющая порядок равных эл-тов

Теорема. Алгоритм сортировки подсчетом устойчив и работает за время = Θ(Max(B,n)).

Например если B=O(n), то Алгоритм сортировки подсчетом устойчив и работает за время = Θ(n).

Теорема. Алгоритм цифровой сортировки с использованием сортировки подсчетом массива целых чисел размером n>60000 устойчив и работает за время = Θ(n).

HeapSort

{a_i}, i=0,…,n-1. Сортируем по возрастанию.

Массив называется *-упорядоченным если выполняется свойство *:

a_i≥ a_2i+1 (i≥0, 2i+1<n)

a_i≥ a_2i+2 (i≥0, 2i+2<n)

0 i=1

1 2 i=2

3 4 5 6 i=h

Время работы построения пирамиды [Строим пирамиду: for(i=n-2;i>=0;i--) Heapify(a,n, i)]:

=…

Теорема. Время работы построения пирамиды =Θ(n).

Порядковые статистики.

{a_i}, i=0,…,n-1, a_i∈ ℝ

Порядковая статистика с номером k для {a_i} = k-ый элемент в упорядоченном множестве {a_i}.

Теорема. Алгоритм нахождения статистики с использованием сортировки делением пополам без рекурсии требует Θ(1) доп.памяти в стеке и Θ(n) доп.памяти в куче; алгоритм работает за время O(n log n).

Теорема. Алгоритм FindStat2 требует Θ(1) доп.памяти в стеке и Θ(n) доп.памяти в куче; алгоритм работает за время O(n²).

Алгоритм работает за время Θ(n) в среднем по всем перестановкам массива из n различных чисел.

Пусть T(i)≤ ai для i<n.

Среднее время поиска k-ой порядковой статистики = T(n)≤ ( O(n)+max(T(1),T(n-1)) +∑_i=2ⁿ(O(n)+max(T(i-1),T(n-i+1))) )/n =

O(n)+=O(n)+2a (n/2)3/4 =O(n)+a3/4 n=an +(O(n)-a n/4)=[выбираем a]≤ an

Ч.Т.Д.