Сортировки, основанные на сравнениях.

Будем говорить, что алгоритм сортировки основан на операциях сравнения, если алгоритм может быть записан в виде бинарного дерева (дерева решения), каждая вершина которого либо является завершающей (т.е. при попадании в нее исходная последовательность данных оказывается отсортированной), либо:

· вычисляется некоторая функция от входных данных алгоритма,

· производится сравнение полученной величины с 0 (одной из операций: <, > или =)

· от каждой вершины дерева, в зависимости от полученного результата, происходит переход к левой или правой ветви дерева

·  на каждой ветви дерева происходит одна определенная для данной ветви транспозиция элементов входных данных (обмен местами двух определенных элементов последовательности).

Отметим, что часто в литературе завершающие вершины дерева называются листьями, но мы далее дадим для них другое определение, поэтому пока этим понятием пользоваться не будем.

Будем говорить, что алгоритм сортировки основан на операциях простого сравнения, если алгоритм основан на операциях сравнения и в нем допускаются только попарные сравнения элементов исходного массива данных.

Если исходные данные задачи принадлежат k-мерному Евклидову пространству и если вычисляемая в узлах функция является многочленом степени n, то говорят, что алгоритм представим в виде алгебраического дерева степени n.

Далее мы будем рассматривать алгоритмы, в которых операции сравнения и перестановки двух элементов занимают единичное время.

Теорема.  Нижней оценкой времени решения задачи сортировки в рамках алгоритмов, основанных на операции сравнения, является Q (N log₂ N). Т.е. существует функция g(N)=Q (N log₂ N), являющаяся нижней оценкой решения задачи сортировки в рамках алгоритмов, основанных на операции сравнения.

Замечание. На самом деле, не обязательно ограничивать операции, допустимые после сравнения элементов в дереве решения, лишь одной транспозицией. Можно разрешить выполнять произвольную перестановку всех N элементов за 1 единицу времени. Теорема останется верной. 

Доказательство. Рассмотрим решение задачи о сортировке набора из N целых чисел от 1 до N. Решение можно представить как дерево решения. Исключим из этого дерева все ветки, начиная с элемента, в который нельзя попасть и до завершающего элемента дерева. Удаление данных веток никак не повлияет на реальный алгоритм.

Теперь каждой перестановке s(1,…,N)  (здесь под s подразумевается перестановка элементов множетва {1,…,N}) соответствует своя концевая вершина в дереве решения (соответствующая только этой перестановке), такая что ветка дерева решения от корня до данной вершины задает перестановку p, обратную s.: p(s(i))=i "iÎ{1,…,N}.  Т.е. данная ветка задает решение задачи сортировки для последовательности исходных данных {s(1), s(2,)… s(N)}.

Действительно, в силу определения дерева решений, для каждой последовательности исходных данных {s(1), s(2,)… s(N)} мы имеем ровно одну ветвь дерева решений (от корня до завершающей дерево вершины), сортирующую данную последовательность. Причем, каждая завершающая дерево вершина является концевой ровно для одной перестановки s(1,…,N). Действительно, мы исключили вершины, до которых нельзя в принципе добраться, поэтому осталось исключить ситуацию, когда вершина соответствует сразу двум различным перестановкам s(1,…,N) и r(1,…,N). Но в последнем случае мы имеем: p(s(i))=i и p(r(i))=i "iÎ{1,…,N}, где перестановка p описана выше. Из чего сразу получаем, что перестановки s и r совпадают.

Таким образом, мы доказали, что количество завершающих вершин дерева решений равно количеству перестановок множества {1,…,N}, равно n!.

Будем называть глубиной дерева количество вершин в его самой длинной ветке. Для дерева глубины h мы имеем, что хотя бы в одной ветви дерева количество сравнений равно h-1, из чего сразу получаем, что h-1 является нижней оценкой времени работы всех алгоритмов, описываемых деревьями сравнения глубины h (мы задаем время сравнения равное 1).

Дерево глубины h не может иметь количество концевых вершин K более чем

2^h-1: K ≤2^h-1, откуда получаем: h ³ (log₂ K) +1.

Итого, в нашем случае:

h ³ (log₂ K) +1 = (log₂ N!) + 1 =Q(N log₂ N).

Здесь мы использовали известную формулу Стирлинга:

n! = nⁿe^-nsqrt(2pN) ( 1+o(1) )

из которой сразу следует, что

log₂ N! = (N log₂ N  -N log₂ e + log₂ sqrt(2pN) )( 1+o(1) ) = (N log₂ N)( 1+o(1) )